Asep Nurzaman: September 2013

Definisi :

Himpunan adalah sekumpulan objek diskrit yang memiliki sifat tertentu dan memiliki objek yang berbeda. Objek ini selanjutnya dinamakan yaitu anggota atau elemen dari himpunan tersebut.
Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.

Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas. Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya.

Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati. Jadi relatif bagi setiap orang.

Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut. Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

Notasi

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A,B,C,H,K dan sebagainya. Untuk menyatakan suatu himpunan digunakan simbol “{}”, sementara itu untuk melambangkan anggota himpunan biasanya menggunakan huruf kecil a,b,c,x,y dan sebagainya.

Untuk menyatakan anggota suatu himpunan digunakan lambang “∈” di baca anggota sedangkan untuk menyatakan bukan anggota suatu himpunan digunakan lambang "∉ " di baca bukan anggota.

Ada beberapa jenis himpunan, diantaranya;

1. Himpunan Kosong

Definisi :

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

Soal. a) Buktikan apakah semua nama hari yang berawal dengan angka numerik itu himpunan kosong?

Penyelesaian:

a) Diketahui A = {1,2,3,4,5,6,7} ≠ H = {Senin, selasa, rabu , kamis, jumat, sabtu, minggu},
maka semua nama hari yang dimulai dengan angka numerik adalah = 0 , jadi A ≠ ∅ atau A bukan himpunan kosong, karena himpunan kosong itu jika A = 0 atau {}.

2. Himpunan Bagian
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

Soal. a) Buktikan apakah A = {1,2,3,4} adalah himpunan bagian dari, B = {1,2,3,4,5,6,7} ?

Soal. b) Diketahui C = {1,3,5} adalah sub himpunan sejati dari D = {5,4,3,2,1} buktikan apakah termasuk himpunan bagian? lihat soal baik-baik!

Soal. c) Diketahui G = {1,3,5} dan F = {5,4,3,2,1}, Apakah G ⊆ F , benar atau salah buktikan?

Penyelesaian:

a) Untuk menunjukan bahwa A adalah himpunan bagian dari B, bahwa setiap elemen di dalam A juga elemen di dalam B, maka A

Penyelesaian:

a) Untuk menunjukan bahwa A adalah himpunan bagian dari B, bahwa setiap elemen di dalam A juga elemen di dalam B, maka A ⊆ B = {1,2,3,4} adalah benar.
Kenapa {5,6,7} tidak di termasuk? karena elemen 5,6,7 bukan merupakan elemen himpunan bagian dari A .

b) Karena setiap unsur C merupakan unsur D, lalu unsur 2 dan 4 merupakan unsur D, tetapi bukan merupakan unsur C, sehingga C
Kenapa {5,6,7} tidak di termasuk? karena elemen 5,6,7 bukan merupakan elemen himpunan bagian dari A .

b) Karena setiap unsur C merupakan unsur D, lalu unsur 2 dan 4 merupakan unsur D, tetapi bukan merupakan unsur C, sehingga C ⊆ D adalah benar atau di baca C merupakan himpunan bagian D.

c) F

c) F ⊈ G jika dan hanya jika G ⊆ F = {4,2}, namun anggota himpunan F = {5,3,1} merupakan
bagian dari himpunan G = {1,3,5} maka G ⊆ F = {1,3,5} adalah benar.

3. Himpunan sama

Definisi :

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B <==> A ⊆ B dan B ⊆ A Tiga hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan:

1. Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}

2. Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan. Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}

3. Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B dan C = C(b) Jika A = B, maka B = A(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

Soal. a) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {5,3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk himpunan sama?

Soal. b) Jika A = {3,5,8,5} dan B = {3,8}, Apakah himpunan berikut termasuk himpunan sama?

Soal. c) Jika A = {a,a,a,b,c,d} dan B = {c,a,a,c} Apa himpunan berikut termasuk himpunan sama?

Penyelesaian:

a) A = B = {3,5,8}, jadi himpunan di atas adalah himpunan sama

b) A ≠ B , karena A = {5} bukan merupakan himpunan bagian dari B

c) A ≠ B <==> A ⊈ B | B ⊈ A, karena A = {b,d} bukan merupakan himpunan bagian dari B

Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari ;

Contoh penerapan soal himpunan dalam kehidupan sehari-hari biasanya mengenai survey tentang sesuatu, mulai dari yang sederhana hingga ke yang agak luas cakupannya.

Contoh-contohnya adalah sebagai berikut:

Survei yang di lakukan PT(ABC) mengenai kebiasaan mahasiswa dalam mengakses informasi :

400 orang mengakses informasi melalui koran

560 orang mengakses informasi melalui TV

340 orang mengakses informasi melalui internet

205 orang mengakses informasi melalui koran dan TV

175 orang mengakses informasi melalui TV dan Internet

160 orang mengakses informasi melalui koran dan internet

155 orang mengakses informasi melalui ketiganya

Pertanyaan :

a. Jika total mahasiswa perguruan tinggi 1100 berapa orang yang tidak mengakses dari ketiga nya?

b. Berapa orang yang tidak mengakses informasi melalui 2 media saja?

c. Berapa orang yang mengakses informasi melalui satu media saja?

Jawab :

Total mahasiswa n(S) = 1100

Koran n(K) = 400

TV n(TV) = 560

Internet n(I) = 340

(K ∩ TV) = 205

(K ∩ I) = 160

(TV ∩ I) = 175

(K ∩ TV ∩ I) = 155

915 = 400 + 560 + 340 – 205 – 160 – 175 + 155

Cara penyelesaian yang mudah bisa dilakukan dengan menggambar diagram venn terlebih dulu, seperti gambar di bawah ini :

Buat diagram ven, berupa persegi untuk himpunan semesta S

Di dalamnya buat tiga lingkaran yang saling beririsan dan beri nama K, TV dan I.

Pada irisan ketiga lingkaran K ∩ TV ∩ I, tulis 155

Pada irisan K ∩ TV dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 205 - 155 = 50

Pada irisan K ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 160 - 155 = 5

Pada irisan TV ∩ I dikurangi K ∩ TV ∩ I, tulis 175 - 155 = 20

Pada lingkaran K dikurangi irisan, tulis 400 - (50 + 5 + 155) = 150

Pada lingkaran TV dikurangi irisan, tulis 560 - (50 + 20 + 155) = 335

Pada lingkaran I dikurangi irisan, tulis 340 - (5 + 20 + 155) = 150

Pada bagian luar lingkaran, tulis 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225

Dari penyelesaian diatas, jawaban dapat disimpulkan seperti di bawah ini :

a. Yang tidak mengakses ketiga media --> 225 orang

cara : 1100 - (150 + 335 + 160 + 50 + 20 + 5 + 155) = 225

b. Yang mengakses melalui dua media --> 75 orang

cara : 50 + 20 + 5 = 75

c. Yang mengakses melalui satu media --> 645 orang

cara : 150 + 335 + 160 = 645

Syarat lulus bagi peserta ujian adalah nilai Bahasa Inggris dan Matematika harus lebih dari 4,5. Dari 50 siswa peserta ujian terdapat 15 siswa yang nilai Bahasa Inggrisnya kurang dari 4,5. Dan terdapat 20 siswa yang mendapatkan nilai Matematika dan Bahasa Inggrisnya lebih dari 4,5.Jika banyaknya siswa yang tidak lulus ada 8 orang, tentukan.

Untuk menjawab permasalahan diatas dapat dilakukan dengan cara berikut ini :

Data yang diketahui ;

- Banyaknya siswa (S) = 50 = n(S)

- Tidak lulus bahasa inggris (TI) = 15 = n(TI)

- Tidak lulus bahasa inggris dan matenatika = 8 = n(TI∩TM)

- Siswa yang lulus = 20 = n(TI U TM)’

Persoalannya :

Jawab:

 n(TI U TM) = n(S) - n(TI UTM)’

= 50 – 8

= 7

n(TI∩TM) = n(TI) + n(TM) - n(TI U TM) 8 = 15 + n(TM) – 30

38 = 15 + n(TM)

n(TM) = 23

n(TM) - n(TI∩TM) = 23 – 8

n(TM) saja = 15

n(TI) - n(TI∩TM) = 15 – 8

n(TI) saja = 7

n(TI U TM)’ + n(TI) = 20 + 7

n(TM)' = 27

n(TI U TM)’ + n(TM) = 20 + 15

n(TI)' = 35

Keterangan: Tidak lulus bahasa inggris = TI

Tidak lulus matematika = TM

Notasi dan Cara Menyajikan Himpunan

Himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf besar A, B, C, X, A1, A2, dsb. Anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil a, b, c, x, x1, y, y1, dsb. Pernyataan a anggota A, dilambangkan dengan $a \varepsilon A$

Himpunan dapat disajikan dengan cara:

1. Mendaftar anggota-anggotanya di dalam tanda kurung kurawal.

Contoh:

a. N adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari lima disajikan dengan

N = {1, 2, 3, 4}.

b. P adalah himpunan konsonan yang membentuk kata “Jaringan” disajikan dengan

P = {j, r, g, n}.

c. H adalah himpunan pancaindra manusia disajikan dengan

H = {penciuman, perasa, pendengaran, penglihatan, peraba}

d. A adalah himpunan bilangan asli disajikan dengan

A = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

e. B adalah himpunan bilangan bulat disajikan dengan

B = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

2. Menyajikan sifat-sifat anggotanya

Contoh:

a. A = {bilangan asli}

b. C = {bilangan cacah}

c. D = {bilangan bulat negatif}

d. E = {bilangan cacah yang kurang dari lima}

3. Menggunakan notasi pembentuk himpunan. Dengan cara ini himpunan disajikan dalam bentuk

{x | x bersifat R}, dibaca himpunan x di mana x bersifat R.

Contoh:

a. Himpunan A di atas disajikan dengan

A = {x | x adalah bilangan asli}.

b. Himpunan E di atas disajikan dengan

E = {x | x adalah bilangan cacah dan x < 5}.

Himpunan yang tidak mempunyai anggota dinamakan himpunan kosong dan dinotasikan dengan {}.

Contoh himpunan kosong:

1. Himpunan mahasiswa yang berat badannya lebih dari 1 ton.

2. Himpunan maling yang tak pernah mencuri.

3. Himpunan bilangan cacah negatif.

Banyak anggota dari himpunan A dinotasikan dengan n(A).

Contoh: n({1, 2, 3, 4}) = 4,

n{} = 0,

n({bilangan asli}) = tak terhingga

Himpunan yang banyak anggotanya berhingga (finit) disebut himpunan berhingga. Sebaliknya himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga, misalnya {bilangan asli}. Disebut himpunan tak hingga (infinit).

Catatan:

Himpunan semua obyek yang sedang dibicarakan disebut himpunan semesta dan dinotasikan dengan S atau U. Himpunan semesta harus kita tentukan dahulu sebelum kita membicarakan himpunan objek dengan sifat-sifat yang lebih khusus.

Contoh:

S = {bilangan asli}

$K1 = {x |\leq x 5} = {1,2,3,4,5}$

K2 = {x | x2 + x = 2} = {1}

K3 = {x | x < 1} = {}

Operasi Terhadap Himpunan, disini.

Hukum-hukum Himpunan

•Disebut juga sifat-sifat (properties) himpunan •Disebut juga hukum aljabar himpunan

1. Hukum identitas: A = A A U = A	2. Hukum null/dominasi: A = A U = U
3. Hukum komplemen: A = U A =	4. Hukum idempoten: A A = A A A = A

5. Hukum involusi: = A	6. Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A
7. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A	8. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C
9. Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)	10. Hukum De Morgan: = =
11. Hukum 0/1 = U = Æ

Relasi ekuivalen, kelas ekuivalensi dan partisi

Konsep relasi pada Matematika serupa dengan pengertian relasi pada sehari-hari. AKan saya mulai dengan definisi formal relasi

Definisi 1: Suatu relasi (biner) pada himpunan $S$ adalah himpunan bagian $R$ dari produk cartesian $S\times S$ . Jika $R$ adalah suatu relasi dan $\left(x,y\right)\in R$ maka dikatakan $x$ berelasi ke $y$ pada $R$ atau singkatnya $xRy$